ABSTRACT
The first step in our sensing of smell is the conversion of chemical odorants into electrical signals. This happens when odorants stimulate ion channels along cilia, which are long thin cylindrical structures in our olfactory system. Determining how the ion channels are distributed along the length of a cilium is beyond current experimental methods. Here we describe how this can be approached as a mathematical inverse problem. Precisely, two integral equations based mathematical models are studied for the inverse problem of deter- mining the distribution of ion channels in cilia of olfactory neurons from experimental data. The Mellin transform allows us to write an explicit formula for their solutions. Proving observability and continuity inequalities for the second integral equation is then a question of estimating the Mellin transform of the kernel on vertical lines. For the first integral model, an identifiability and a non observability (in some weighted 
spaces) results are proven.
RESUMEN
El primer paso en nuestra percepción del olfato es la conversión de olores químicos en señales eléctricas. Esto sucede cuando los olores estimulan los canales iónicos a lo largo de los cilios olfatorios, estructuras cilíndricas largas y delgadas en el sistema olfativo. Determinar cómo se distribuyen estos canales iónicos a lo largo de un cilio supera los métodos experimentales actuales. Aquí describimos cómo es posible abordar esta pregunta como un problema matemático inverso. Precisamente, se estudian dos modelos basados en ecuaciones integrales para el problema inverso de determinar la distribución de los canales iónicos en los cilios de las neuronas olfativas, a partir de datos experimentales. La transformada de Mellin nos permite escribir una fórmula explícita para sus soluciones. Demostrar las desigualdades de observabilidad y continuidad para la segunda ecuación integral resulta así equivalente a estimar el núcleo de la transformada de Mellin de la solución en líneas verticales. Para el primer modelo integral, se prueban resultados de identificabilidad y de no observabilidad (en ciertos espacios de tipo con peso).